.:: دکتری ::.

ریاضی محض
معرفی

ریاضی محض مطالعه مفهوم‌های ریاضی ناوابسته از هر کاربردی در بیرون ریاضی است. اگرچه سرچشمۀ بیشتر این مفهوم‌ها، جهان بیرونی است و نتیجه‌های به دست آمده هم دارای کاربردهای عملی سودمند است، ولی انگیزۀ ریاضی دان‌های محض اساساً چنین کاربردها نیست بلکه کشش ناشی از چالش‌های عقلانی و زیبایی نتیجه‌های منطقی این پژوهش‌هاست. اگر چه ریاضی محض به عنوان فعالیت (ذهنی) دست کم از زمان یونان باستان وجود داشته است، تکامل آن به عنوان دانشی منطقی و منسجم در سدۀ 1900 صورت گرفته است. برآنچه گفته شد باید افزود که سرچشمۀ تقریباً همه نظریه‌های ریاضی، مساله‌های جهان حقیقی یا نظریه های کمتر مجرد (بوده) است. نیز بسیاری از نظریه‌های ریاضی که کاملاً محض به نظر می‌رسید، سر انجام در بخش‌های کاربردی، مانند فیزیک و دانش کامپیوتر، به کار رفته و می‌رود.


.:: کارشناسی ارشد ::.

ریاضی محض / گرایش های آنالیز، جبر، منطق (ریاضی)، هندسه – توپولوژی
معرفی

ریاضی محض مطالعه مفهوم های ریاضی ناوابسته از هر کاربردی در بیرون ریاضی است. اگرچه سرچشمۀ بیشتر این مفهوم ها، جهان بیرونی است و نتیجه های به دست آمده هم دارای کاربردهای عملی سودمند است، ولی انگیزش ریاضیدان های محض اساساً چنین کاربردها نیست بلکه کشش ناشی از چالش های عقلانی و زیبایی نتیجه های منطقی این پژوهش هاست. اگر چه ریاضی محض به عنوان فعالیت (ذهنی) دست کم از زمان یونان باستان وجود داشته است، تکامل آن به عنوان دانشی منطقی و منسجم در سدۀ 1900 صورت گرفته است. برآنچه گفته شد باید افزود که انگیزش تقریباً همه نظریه های ریاضی، مساله های جهان حقیقی یا نظریه-های کمتر مجرد (بوده) است. نیز بسیاری از نظریه های ریاضی که کاملاً محض به نظر می رسید، سر انجام در بخش های کاربردی، مانند فیزیک و دانش کامپیوتر، به کار رفته و می‌رود.
جبر:
جبر شاخه ای از ریاضی است که دستگاه های جبری را مطالعه می کند و به برزش معادله ها در آن دستگاه ها می پردازد. جبر، گسترشی از حساب است که افزودن بر عددها و عمل های استاندارد حساب مانند جمع و ضرب متغیرها و عمل (گر)ها را در بر می گیرد. جبر با بسیاری از دیگر بخش های ریاضی مانند هندسه، توپولوژی، آنالیز و منطق و حتی دانش های تجربی مرتبط است.
منطق ریاضی:
منطق ریاضی مطالعه منطق صوری در ریاضی است. زیربخش‌های اصلی آن شامل نظریۀ مدل، نظریۀ اثبات، نظریۀ گردآیه (مجموعه)‌ها و نظریۀ بازگشتی (با نام دیگر محاسبه‌پذیری) است. پژوهش در منطق ریاضی عموماً در بارۀ ویژگی‌های ریاضی دستگاه‌های صوری منطق مانند توان بیان‌پذیری یا استنتاجی (قیاسی) آنهاست. پژوهش منطقی همچنین می‌تواند کاربرد منطق برای تشخیص اثبات ریاضی درست یا به‌دست دادن مبانی ریاضی باشد. این شاخه نیز عموماً از قرن نوزده آغاز شده و همچنان در حال تکامل و پیشرفت است.
آنالیز:
آنالیز بخشی از ریاضی است که با نگاشت های پیوسته، حد و نظریه های مربوط به آن مانند مشتق پذیری، انتگرال گیری، اندازه، دنباله های بی پایان، سری ها و نگاشت های تحلیلی سرو کار دارد. آنالیز را می توان به هر فضای متشکل از شیئ های ریاضی که مفهوم نزدیک بودن (فضای توپولوژیک) یا فاصله بین شیئ ها (فضای متریک) را می پذیرد، به کاربرد. پایه های نوین آنالیز در اروپای سده هفدهم بنا شد و تاکنون در حال تکامل و شاخه ای اصلی از ریاضی است.
هندسه – توپولوژی:
هندسه شاخه ای از ریاضی مربوط به ویژگی هایی از فضا مانند فاصله، شکل، اندازه و وضعیت نسبی شکل هاست. هندسه، همراه با حساب یکی از قدیمی ترین بخش‌های ریاضی است. هندسه تقریباً در همۀ دانش های دیگر و نیز در هنر و معماری و کارهای گرافیکی دارای کاربرد است. هندسه نوین به صورت اصولی از سدۀ نوزدهم میلادی آغاز شده و همچنان در حال گسترش است.
در ریاضی توپولوژی با ویژگی‌هایی از یک شیئ هندسی که با دگردیسی های پیوسته نگاه داشته می شوند سروکار دارد. فضای توپولوژیک گردایه ای همراه با ساختاری به نام توپولوژی است که اجازه دگردیسی پیوسته زیرفضاها و به طور کلی همه گونه پیوستگی را می دهد. ایده های پیش زمینه توپولوژی به قرن هفدهم باز می گردد و آنچه برانگیز اننده آن بوده است، این است که برخی مساله های هندسی نه تنها به شکل دقیق شیئ های در دست بررسی بلکه به چگونگی چیدمان آنها نیز بستگی دارد. آغاز توپولوژی به عنوان بخشی منسجم از ریاضی به نیمه اول قرن بیستم باز می گردد. اکنون توپولوژی شاخه ای استوار و اصلی از ریاضی با ارتباط ها و کاربردهای فراوان در بخش های دیگر ریاضی است.